今天我们来讲一讲人类的数学史，我们从幼儿园、小学一年级就开始学数学，从最简单的“1＋1＝2”学到微积分。数学往往也是各门功课当中最难学的科目，充满了各种抽象的思维和枯燥无味的定理，可是，如果我们跟随着人类祖先的步伐，慢慢认识数学，就会发现数学的乐趣。

　　第一：为什么（﹣1）×（﹣1）＝1？

　　古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”，“万物皆数”其实是有一定道理的，阿基米德提出的浮力定律、牛顿提出的万有引力定律、爱因斯坦提出的相对论都可以用数学公式来表达，宇宙中的这些物理现象竟然可以用一个数学公式来表达，恰恰是宇宙最神奇的地方。

爱因斯坦

　　我们在初中一年级学代数的时候，最难以理解的就是负数的概念，“负数加负数等于负数”、“负数加正数等于两个数的绝对值的差”都很好理解，但为什么负负得正呢？（﹣1）×（﹣1）＝1？

　　美国数学家克莱因认为数学家认识负数这个概念花了1000年的时间，接受负数这个概念则又花了1000年的时间，也就是说我们在初中一年级的课堂上花40分钟学习的正负数运算法则，是人类花了2000年的时间才搞定的。

　　人们之所以认识到负数的概念，是记账的需要，为了表示负资产和债务而引入了负数。盈余为正，债务为负。但是，债务上的负数同样是个实体，比如欠债5两银子，记为“﹣5”，就是5两银子这个实体，而不是比0两银子还要少的银子，否则的话，就不用还了，比0两银行还少，为什么还要还呢？

中国古代的社会生活

　　人们在日常生活中使用负数，源于贸易的需要，随着生产力水平的提高，贸易越来越频繁，负数的概念自然就有了，但是，在科学意义上使用负数，则要到公元3世纪。

　　在数学史上，第一次使用负数概念的数学家是中国古代的刘徽，刘徽是魏晋时期著名的数学家，他在解线性方程的时候，发现数字不够减，从而引入了负数的概念，并给出了正负数的加减法运算法则。《九章算术》中记载道：“正负术曰：‘同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。’”这段话的意思翻译成现在的数学语言，就是说：正数与正数相减，是两个数的差，正数与负数相减，是两个数的绝对值的和，零减正数是负数，零减负数则是正数。

　　刘徽的正负数运算法则，为什么强调的是正负数之间、正负数与零的减法运算呢？这主要是为了在解线性方程的过程中消元。线性方程其实就是一次方程，我们以一个简单的二元一次方程为例来说明刘徽发现负数的过程。

　　已知：2x＋y＝8，3x＋2y＝6，求未知数x与y的值。

　　我们用消元法很快得出这个方程式的解，即x＝10，y＝﹣12。

　　但是，如果我们不使用负数，就会发现这个方程式是无法消元的，而且这个方程也无解。

　　中国人很早就发现了负数，但是，欧洲人接受负数这个概念，则相当的晚，直到公元17世纪，欧洲的数学家才接受了负数的概念。负数为什么难以被数学家接受呢？因为﹣1是比0还小的数字，0本来就是一无所有了，世界上难道还有比一无所有还少的东西存在吗？

　　﹣1只羊，﹣12个苹果，在地球上并不存在，即使是在贸易的过程中，欠债1只羊，12个苹果，那也是1只羊和12个苹果，并不是比0只羊和0个苹果还少的羊和苹果，如果真的存在负数的话，那就不用还了。所以记账的过程中出现的负数，实际上也是正数。

牛顿

　　负数作为一个数字难以被理解，负负得正就更难以被理解了，负数乘以负数为什么等于正数呢？其实这就是数学史上的一次思维跨越，从具体数学到形式数学。

　　负数本身并不存在，因为数字不够减，才引入了负数的概念，而负数乘以负数之所以等于正数，则是为了整个数学体系的和谐而人为设定的规则。正如19世纪的法国数学家司汤达在解释“负负得正”的问题时所说的那样，这是每个人必须接受的，他感觉数学就是一场骗局，不是数学在骗他，就是他的数学老师在骗他。

　　“负负得正”的“荒谬”还体现在哪里呢？既然负负得正，那么是不是两次负债相乘等于收入呢？每年欠银行1万元，3年后，就是欠3万元，那么，在3年前，银行是不是要返还3万元呢？根据正负数运算法则确实应该如此，因为：（﹣1）×（﹣3）＝3，实际上银行在3年前，根本就不可能返还3万，因为从现在开始人们不可能回到3年前。

笛卡尔与克里斯蒂娜女王讨论数学问题

　　为了解释这个问题，数学家克莱因同样用负债的现象完美解释了这个问题，一个人每天欠债5美元，3天后就是欠债15美元，记为﹣15美元，数学公式为：（﹣5）×3＝﹣15。假如我们设定一个日期，那么在这个假定日期的3天前，他的债务状况就是：（﹣5）×（﹣3）＝15。

　　今年父亲56岁，儿子29岁，问哪一年父亲年龄将是儿子的2倍？我们列一个方程式，设x年后，父亲的年龄将是儿子的2倍。这就是56＋x＝2（29＋X）。最后，得出x＝﹣2，也就是说﹣2年后，父亲的年龄是儿子的年龄的2倍。在实际生活中，这个方程得出的解是荒谬的，因为没有“﹣2年后”的说法，实际上这个方程无解。但如果我们设一个假定的日期为0，允许时间倒退，那么，2年前，父亲就是54岁，儿子就是27岁，父亲的年龄是儿子的2倍，这种说法就通了。

　　即使引入了负数，原题依然是无解的，因为题目问的是“哪一年父亲的年龄将是儿子的2倍？”而不是问“哪一年前父亲的年龄是儿子的2倍？”若换成“哪一年前”，那么方程式就是56－x＝2（29－X），这样一来，得出x＝2。2同样是个正数，表示的是2年，不是﹣2年。这就是说负数在实际生活中并不存在，是人们想象的一个数字。

　　负债的问题也是一个道理，如果一个人每年欠银行1万元，那么，3年前，银行是不是要返还3万元给他呢？实际上3年前，银行并没有返还3万元给他。

　　当然负负得正的例子，我们用温度或者数轴来解释更容易理解，例如：海拔每升高1千米，温度下降6℃，假如A地的气温是0℃，那么，比A地低2千米或者高2千米的地方，温度各是多少呢？（﹣6）×（﹣2）＝12，即比A地低2千米的地方温度为12℃，这就是负负得正；（﹣6）×2＝﹣12，即比A地高2千米的地方温度为﹣12℃，这就是负数与正数相乘还是负数。

海拔可以为负数，是假设海平面的高度为0

　　用温度来解释负负得正和负数存在的合理性，同样是我们假设了一个前提，即温度和海拔可以低于0℃和0米，而实际上地球上没有“没有温度”的物体，宇宙中的绝对零度是﹣273.15℃，﹣12℃是低于0℃的温度，并不是比没有温度还冷的物体。地球上也没有“没有海拔”的高度，我们假定了海平面的高度是0，﹣2000米就是低于海平面2000米的地方，而不是比没有高度还低的地方。

　　0和负数被赋予数字的地位，是人类认知的一大跨越，直到公元17世纪，数学家才普遍接受了负数的概念。

古希腊数学家欧几里得

　　然而，人类认识抽象的123456789的数字的存在，则是花了几百万年的时间。

　　第二：人类认识123456789花了几百万年的时间

　　人类大约在5000年至6000年前进入到文明史阶段，在长达几百万年的原始社会阶段，人们的数学知识是非常落后的，并不知道抽象的数字，只知道“多”和“少”的概念。处于采集、狩猎时期的人类，经济活动非常的简单，往往是自给自足，把自己置于天然的食物链当中，需要什么就去野外采集和打猎什么，采集来的野果、根茎、树叶以及狩猎而来的肉类，是无法长期保存的，剩余食物非常的少，人们没有剩余财产，也就没有计数的需要。从某种程度上来说，数字的诞生，其实是源于“自私”。

羊群

　　但是，这并不意味着人们不知道自己狩猎了多少只羊，采集了多少个苹果，对于数量稀少的物件，还是有概念的，并且随着石器制作工艺的提高，人们已经认识到了抽象的物体了，制作这个世界上并不存在的具有一定形状的石器，这就是最早的数学。

　　然而，此时的数字并未脱离有形的物体，人们只知道有3只羊、3个苹果，却不知道3这个数字。

　　那么，人类是从什么时候开始有了抽象的计数系统呢？计数系统的出现与农业革命有关。人类发明农业的时间大约是在1.2万年前，但是在长达五六千年的时间里，农业的规模一直很小。后来，随着人口的增加，农业生产工具的改进，人们的私有财产也随之增加了，并出现了城市和国家，人类的历史进入到文明史的阶段。

古埃及的农业

　　人们的财产增加以后，在进行以物易物的贸易过程中，就必须搞清楚自己用多少只羊换了一双鞋，用几袋苹果换了几袋小麦，于是，数字就慢慢脱离了具体的物体而独立了出来。

　　在公元前4000年前的两河流域，人们为了计算羊群的数量，而用黏土制造了球状的筹码，因为当时人们放的羊实在是太多了，羊群一旦混淆，就搞不清楚自己家到底有多少只羊了，必须得用筹码计数。但是用筹码计数，也会上当受骗，筹码是可以被偷走的，偷走一个筹码，就意味着少了一只羊，为了防止造假，人们把筹码封闭在一个小球内，这个小球是用泥土烧制的，比如这个小球内部有6个筹码，就代表有6只羊，如果有人造假，那么，就必须把小球敲碎，取出或者放进去一个筹码，如此一来，就很容易被发现。但是，把若干个筹码密闭在小球内，有一个缺点，那就是每次数数的时候，必须敲碎一个小球，而这些小球都是烧制的，这样很麻烦，特别是在进行贸易的时候，要不断地敲碎小球。为了方便起见，人们把小球的外面刻上了划痕，用划痕代表羊的数量，这样一来，就能在外面看出里面有多少个筹码了，既方便计数，又防止造假，不用每完成一次交易，就敲碎一堆小球。

　　随着时间的推移，人们逐渐发现既然小球内部的筹码和外部的计数符号是一样的，那为什么还要烧制筹码呢？干脆把计数符号写泥版上吧，于是，数字就脱离了具体的物体而单独存在了，这是人类数学史的第一次跨越。

　　我们在小学、初中的一堂课上学习的内容，往往是人类花了几百年、几千年的时间积累的知识和经验。这就是人类科技不断进步的奥秘之所在，有了专门的学习时间、有了学校、有了老师，才能使得我们在短时间内掌握人类在几千年内积累的知识。