“棒棒糖需要舔多少口才能被完全吃掉？”这几乎是一个世界性的问题。80年代美国的一则著名的棒棒糖广告中，一位小男孩向森林中的动物们请教这个问题，最终猫头鹰先生（Mr. Owl）告诉他说我们应该用实验来检验。猫头鹰开始实验，但是到第三口就忍不住把棒棒糖咬碎了——于是得出了3口这个最终结论。广告的最后说：“棒棒糖需要舔多少口？世界可能永远也不会知道。”

　　在纽约大学柯朗数学研究所应用数学实验室（Applied Maths Lab），我们意外发现了这个问题的答案——说意外，是因为我们研究的初衷是为了解释溶解过程在自然界中的作用。

　　自然界中，有水流过的地方都会留下水特有的痕迹。比如说，在河边我们可以捡到椭球形的鹅卵石，在草原上我们可以看到弯曲的河流，在海底我们会看到起伏的沙丘。这些过程涉及两个重要元素：一方面，水在流过固体表面时，通过侵蚀或溶解带走了物质，从而改变了固体的形状；另一方面，改变了形状的物体又会干扰到水的流动，从而改变水流的速度并且影响物质被带走的速度。集合了这两个元素的流体力学问题统称为变边界固体-流体相互作用问题。

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　　正是在看到这些水流和固体相互作用的例子后，我们开始好奇是什么原因让水流将固体塑造出如此有特点的形状。就像米开朗琪罗曾经说过的一样：“每块石头中都存在着一尊雕塑，而雕刻家的作用便是去找到它。”

　　众多的水流侵蚀现象中，我们先选择了溶解来作为研究的方向。自然界中的固体溶解问题相当困难，因此我们选择了最简单的几何形状——球形，以及最基本的水流——均匀水流（流速处处相等的水流）作为起点。我们希能通过这样的简单组合来了解固体在水流中溶解的基本规律。

　　为了获得球形的可溶固体，我们自然地想到了购买棒棒糖来进行实验。但是，我们发现市售的棒棒糖都包含了大量的气泡，而气泡的存在会影响溶解中固体的形状。在确认市售的棒棒糖存在缺陷后，实验室的成员们首先妥善处理了剩余的棒棒糖，并在这之后开始了自制糖球的过程。

　　经过多次失败的尝试后，我们发现将白糖、糖浆与水以8：3：2的体积比混合后加热至150摄氏度，然后将还能流动的高温糖浆注入到球形模具中冷却，便可以得到口感与质量兼得的硬质糖。最终实验中所用到的直径为6厘米的巨型棒棒糖，就是由我在自己的家中使用这样的传统工艺制作出来的。用这样巨大的糖球做实验恰到好处：如果使用更大的糖球，那么它可能无法被放入实验水洞中，如果太小，那么溶解过程持续的时间又可能太短了无法记录。而最主要的原因在于，我买的球形模具，恰巧是直径6厘米的......

　　实验使用的大棒棒糖球。图片来源：作者提供

　　在得到合适的糖球后，我们将其放置在能产生均匀水流的实验用水洞中，并且通过照相机来记录糖球形状的变化。我们发现，糖球在溶解的过程中会形成下图中所展示的独特形状（水流从左边流向右边）。

　　在定向水流中溶解的糖球。图片来源：作者提供

　　接下来的图是将反光的颗粒放入水中后，长时间曝光所得到的照片，反光颗粒形成的流线像星轨一样记录了其在水流中运动的轨迹。正像在开篇时所说的一样，固体的形状其实反映出了水流自身的特点。我们可以看到，水流将糖球雕刻出了圆而光滑的前部，在这之后由于水流从固体表面分离导致了球面上两道明显的分离线，更之后由于水流在尾流区的混合使糖球的后部形成了平滑的表面。

　　使用反光颗粒标记之后的糖球。图片来源：作者提供

　　糖球的前表面所形成的完美的光滑曲面吸引了我们的注意力，我们想知道这样的几何形状是否是溶解过程所带来的普遍的结果。因此，我们选择了其他形状的几何体，并将最终溶解后的形状与糖球溶解后的形状相比较。下图中，不同颜色的曲线代表了糖在不同时刻的截面形状。我们可以看到，虽然起始形状不同，但是最终它们的前表面都被水流慢慢侵蚀成了相似的曲面。

　　无论是使用糖球还是糖圆柱（左），最终侵蚀得到的球面形状（右，偏蓝色线条）是类似的。图片来源：作者提供

　　这样的结果让我们相信，这样的曲面确实是由于水流侵蚀所造成的。更仔细的分析发现，随着时间的推移在固体表面上流体溶解的速度（表面后退的速度）在不同的区域会慢慢变成同一个常数。这似乎说明，水流侵蚀所形成曲面的几何形状会导致均匀的溶解率——而均匀的溶解率又能保持这个曲面形状不变，只是自相似地不断缩小。这样的一个结论便自洽地解释了，为什么这样的形状会成为固体在液体中溶解的最终形状。

　　那么这样的一个曲面对应着什么样的几何形状？应用数学实验室的尼古拉斯·莫尔（Nicholas Moore）博士通过共形变换的方法解析的找到了这个曲面的形状：

　　在这里φ代表在曲面上每点切线与水平线的夹角，s代表弧长（在最前端为0，分离点为1）。而Li2是一个二阶多重对数函数。

　　不要被这个奇怪的表达式吓到，我们发现在经过泰勒展开后，这个表达式的前几项非常接近一个圆的泰勒展开。这样代表着如果我们把在实验中的到的形状拟合在一个圆上，我们应该会得到非常接近的曲线。下图便是这个拟合的结果，其中的两条实线分别来自于上图中的两个不同的初始形状。

　　实线为棒棒糖溶解过程中的稳定形状，虚线为理想球。图片来源：作者提供

　　事实证明，在溶解过程最终产生的曲面的截面确实是一个圆形的一部分——也就是说这个轴对称的三维曲面是一个球面的一部分。这可以说是实验中最令我喜欢的发现。换句话说，不论初始形状是什么，只要水流的速度均匀（比如说矿物溶解在河流中）我们都可能会看到这样近似于球形的形状出现。

　　在得到了这样的一个形状后，我们又注意到糖球在溶解的过程中溶解速率在不断地增加。因此我们便希望理论求解糖球的体积是如何随时间变化的。

　　通过边界层方法我们可以得到下面两个公式：

　　这里的V代表糖球的体积，t代表时间，tf代表糖球完全溶解所需要的时间，U0代表水流的流速。第一个公式告诉我们，糖球的体积会随时间的平方递减。而第二个公式告诉我们，糖球完全溶解所需要的时间是和水流流速平方根的倒数成正比的。这和我们的直觉一致，就像搅拌咖啡一样，快速的搅拌可以加快糖的溶解。

　　我们发现，这两个公式与实验结果非常吻合。它可以预测可溶解的固体在流动的液体中溶化所需要的时间，因此在工业领域特别是制药业会有很大的用途——譬如，判断药片需要多长时间才能在胃液中溶解。

　　不过，我们也观察到，如果一个糖球溶解在没有流动的静水中，一些未被预测到的纹路结构会出现在糖球表面（糖球不再光滑）。目前的研究结果提示，这些纹路可能是由于流体中的湍流与分离引起的。我们很想在后续研究中更清楚地了解这个过程。

　　在得到了这个公式后的某一天，应用数学实验室的雷夫·里斯托弗（Leif Ristroph）教授突然想到，这个公式似乎可以解释那个困扰着很多人的难题——棒棒糖需要舔多少口。我们决定——不进行这个臭名昭著的实验，而选择在那天下午聚在一起，用我们新得到的公式算出了这个数字——1000口！这听起来挺吓人的，直到我们在推特上找到了RiffRaff41同学的实验报告：

　　在实验数据的证实下，我们的预测多少还是可以接受的。也正因为我们得到了这样一个理论预测的预测，才使我免于真正去做这个高难度的实验。

　　本文转载自果壳，原文地址：https://www.guokr.com/article/440138/